RMI原理下一道中学生数学竞赛试题的探析

【关键词】RMI原理;不等式;数形转换

【基金项目】河南省高等教育教学改革研究重点项目（2017 SJGLX034），河南省教育科学“十三五”规划课题（2019-JKGHYB-0036）.

如果原问题“化归”为一个新问题后，新问题与原问题是同构（即只是形式不同，数学结构完全相同）的，这种“化归”在数学上称为“RMI”原理（Relationship Mapping Inversion，又称关系映射反演原理）.RMI原理是由我国学者徐利治教授于1983年首先提出的，是一种具有普遍适用性的方法论，其本质是把待解决或未解决的问题，转化为一类已经解决或比较容易解决的问题.“曹冲称象”就是一个典型的案例.在当时的技术条件下直接称量大象的质量是很难办到的，而曹冲则想到了利用浮力的原理把称量大象的问题转化为称量与其等重的石块的问题.这种解决问题的思路在数学中有着极为广泛的应用.下面以一道竞赛试题为例做一说明.

一、原题呈现

2010年全国初中数学竞赛初赛（荆州）试题

的结论，表明在对不等式的放大过程中放大的程度过大了.而利用反证法、构造关于k的二次方程以及构造概率模型也均会遇到无法突破的障碍.

分析一 上述不等式的放大过程无法证明结论的原因可归结为放大程度放得过大，进一步来说上述不等式都是对两个或两个以上的变量的关系式的综合放大，若能将放大过程精细地控制在对其中单个变量的放大，则有可能将放大过程控制在更加精准的程度，从而导出正确的结论.

这里假设a为最大的数，俗称极端原理，如同几何辅助线的功能一样，这是一种“有效增设”，首先它是题目中原先没有明确指出，而是在解题中新增添的“假设”;其次，它是有效的，既不改变题意又有助于求解.这种代数处理，并不缺少几何解法的优雅与精巧，但这种放大的思路多少有些剑走偏锋，不具有普遍性，如果不是特别了解题设和结论之间的关系，很难想到这种处理方式.

司马光砸缸的故事启示我们，“救人出水”办不到时，也可让“水离开人”.转换一下思路，或许就能柳暗花明.

分析二 上述借助常见不等式的思路之所以无法在纷繁复杂的解析式中寻觅到解决问题的途径，既有放大过度的问题，也有变量过多的原因.如果能通过变换适当地减少变量个数，或许可以简化问题的复杂性.

分析三 函数的单调性可以解决数量的大小比较问题，前提是能确定函数的单调性.如果能依题设条件和结论构造一个函数并能判别其单调性，或许能另辟蹊径.

证法一是通过变量代换的方式将多个变量间复杂的关系转化为了少数变量间的简单关系，证法二则是将不等式放大问题转换为了函数的单调性问题.两种方法均蕴涵了RMI原理解决问题的思想.

美国数学家斯蒂恩说过：如果一个特定的问题能转化为一个图形，那么就能在思想上整体地把握问题，且能创造性地思索问题的解法.

分析四 仅对问题进行代数角度的探索，难免带有一定的片面性.能否从几何的角度来解决问题呢？通过对结论的观察，容易联想到，若把单个字母a，b，c，m，n，l和k转化為线段，把al，bm，cn，k2视为矩形的面积，从而可将代数问题转化为几何关系，最终达到解决问题的目的.

证法五通过构造等边三角形，揭示了一个隐含的条件∠A=∠B=∠C=60°，这也是一种“有效增设”，为计算三角形的面积提供了必要的支持.

证法四、五通过数与形的转换，将一个棘手的问题以直观简明的几何事实呈现出来，只要会计算矩形或三角形的面积，问题即可迎刃而解.这就是RMI原则解决问题的思想，这种思想为问题的解决提供了一种化归手段，为实现由未知（难、复杂、整体、一般）向已知（易、简单、局部、特殊）的转化提供了可能性.证法四、五完美地诠释了RMI原理的思想方法（如图4所示）.

华罗庚先生说过：数无形时少直觉，形无数时难入微.数学上总是用数的抽象性质来说明图形的形象事实，同时又用图形的直观性质来说明数的隐蔽事实.根据前面证法五的分析，可以将原试题改编为一道几何试题.

分析 经过试验，如图6所示，它是由边长为2的等边三角形△DOF被△AB′E割裂开，再漂移为“风车”的.由

二、结束语

数学教学的目的不仅仅是为了传授数学知识，更重要的是进行思维能力训练，体会数学思想方法的形成过程，养成良好的数学素质，培养分析问题和解决问题的能力.在这方面RMI原理充分显示了它的优越性.RMI原理让我们认识到在学习的过程中，如果正面思维受阻，那么“顺难则逆，正难则反，直难则曲”.顺向推导时有阻力就逆向反求，正面证实有困难时就反面否定，直接解决有困难时就间接解决，采取迂回的方法避实击虚，往往能够开辟出解决问题的新路径.

RMI原理在教学实践中的运用不仅能够激发学生的创造性思维和发散性思维，能够促进数学的学习，而且在培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力等方面，更具有深远的意义.RMI原理作为一种思维方式，为问题的解决提供了一种思路，但具体问题仍须具体分析，有时还需与其他方法相结合，才有可能真正解决问题.

【参考文献】

[1]徐利治，郑毓信.关系映射反演原则及应用[M].大连：大连理工大学出版社，2008.