重在直观，贵在通法

【关键词】通法;表格;一元二次方程;课程目标;利润问题

在辅导学困生学习的过程中，我发现在他们身上存在一个普遍的问题——数学方法理解不透.看到一道题，通读后没有思路，便要放弃或去寻找答案.寻找问题的本质，划归为一，这就是数学解题中的通法.

以北师大版九年级上册第二单元“应用一元二次方程解决利润问题”为例，向学生渗透解决这类问题的方法.明确解应用题的关键六步：审—设—列—解—验—答.下面以表格为载体，明确解题方向、构建知识框架.

教学过程：

教师以母亲节期间鲜花店的销售情况为例，由浅入深，设计一连串的问题.

环节一：知识储备

1.母亲节期间，某鲜花店将进价为20元/盒的康乃馨，定价为36元/盒销售，每盒利润是多少？

2.母亲节期间，某鲜花店将进价为20元/盒的康乃馨，定价为36元/盒销售，这样每天可售出40盒.每天的利润是多少？

设计意图 提取数量关系，单利润=售价-进价（成本），总利润=单利润×数量.

3.母亲节期间，某鲜花店将进价为20元/盒的康乃馨，定价为35元/盒销售，这样每天可售出50盒.每天的利润是多少？

4.母亲节期间，某鲜花店将进价为20元/盒的康乃馨，定价为34元/盒销售，这样每天可售出60盒.每天的利润是多少？

（注意引导学生分析，在进价不变的前提下，其销售量与定价呈现一种函数对应关系）列一元二次方程的关键在于用含有未知数x的代数式表达题目中的文字关系，尝试引导学生将题中的文字条件转化为含有未知数x的数学式子，然后再根据题目中的文字关系找出一一对应关系（相等、倍数等数理关系）.

环节二：合作探究

例1 母亲节期间，某鲜花店将进价为20元/盒的康乃馨，在市场参考价28-38元的范围内定价为36元/盒销售，这样每天可售出40盒.经市场调查发现，若每盒降价1元，平均每天就多卖10盒.要使每天的利润达到750元，应将每盒降价多少元？

分析题意 明确数量关系，单利润=售价-进价，总利润=单利润×数量.

直接设降价为x元，那么单盒销售利润就是（36-20-x）;与此对应的销售量就是（40+10x）.因此左边式子可以表达为（36-20-x）×（40+10x）（单盒利润×销售量），右边式子则是750的总利润，即（36-20-x）×（40+10x）=750.

设计意图 表格是最形象、 最直观的载体，它能够清晰明了地展示丰富的数据与信息.[1]将题目中复杂的文字描述转化为符号、数字语言，学生熟悉了这种方法，自然不会畏惧做题.数学通法是将“抽象难懂”的解题方法翻译成“通俗易懂”的数学接替方法，而不是把“抽象难懂”的变成更加难懂的“技巧”.因此数学通法的含義是经过提炼得出的一类问题的通用解法.[2]

变式一 母亲节期间，某鲜花店将进价为20元/盒的康乃馨，在市场参考价28-38元的范围内定价为36元/盒销售，这样每天可售出40盒.经市场调查发现，若每盒降价0.5元，平均每天就多卖5盒.要使每天的利润达到750元，应将每盒降价多少元？

用间接设元法，明确降价次数与降价的关系即可.同例1一样，列表格分析数据.

分析题意进价20元

分析题意 明确数量关系，单利润=售价-进价，总利润=单利润×数量.

直接设降价x次，则降价0.5x元，那么单盒销售利润就是（36-20-0.5x）;与此对应的销售量就是（40+5x）.因此左边式子可以表达为（36-20-0.5x）×（40+5x）（单利润×销售量），右边式子则是750的总利润，即（36-20-0.5x）×（40+5x）=750.

求解出x的值并不是最终的答案，0.5x才是问题的答案.

变式二 母亲节期间，某鲜花店将进价为20元/盒的康乃馨，在市场参考价28-38元的范围内定价为36元/盒销售，这样每天可售出40盒.经市场调查发现，若每盒降价0.5元，平均每天就多卖5盒.要使每天的利润达到750元，应将每盒定价为多少元？

分析题意 方法同上，认真读题，明确问题与条件之间的关系，在变式一的基础上，求出降价，然后依据变化后的定价=变化前的定价-降价，算出结果.

总结规律

在借助表格分析完数据之后，要明确用一元二次方程解决应用题时的步骤.

第一步：审.借助表格分析数据，找出已知量及对应的未知量，弄清它们之间的数量关系;

第二步：设.要注意设取未知数x.可采用直接设元法和间接设元法两种方法;

第三步：列.用含未知数的代数式表示相关的量，从而列出方程.要注意应使方程两边的数量关系相等，方程两边的代数式的单位相同.

第四步：解.整理方程并解出方程.

第五步：验.结合题中实际意义，对方程的根进行取舍.

第六步：答.总结作答.

环节三：巩固练习

1.新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元.市场调研表明：当售价为2900元时，平均每天能售出8台;而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台.商场要想使这种冰箱每天的销售利润达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

分析题意 引导学生思考，售价、利润、销售量之间的关系.

教师讲解的关键：注意引导学生思考，当降价后的定价为x元时，那么降价部分就可以表达为“2900-x”，里面有几个50，就对应增加几个4.可以通过间接设元法，方法同变式一.

2.某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.经市场调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其每月销售量就减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？

分析题意：解题同上，一定要注意引导学生利用已知量和未知量来表达题目中的文字关系.

环节四：能力提高

某商场礼品柜台购进大量贺年卡，该贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施.经市场调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出300张.商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？

分析题意 解题方法同上，需要注意的是要善于挖掘题目中的隐含条件，对根的取值进行取舍.这是解决此类问题不可忽视的一点，更突出了数学来自生活，又服务于生活的特点.

环节五：课堂小结

通过今天的学习，谈谈自己的收获，或有疑问的地方.

环节六：课后反思

商品经济问题中存在等量关系，因此我们可以借助表格分析数据，把文字语言转化为符号、数字语言，这里体现了转化思想，表格法会贯穿整个初中，只要学生碰到这一类题目，都可以使用通法.史宁中先生在他的专著《数学思想概论》第3 辑《数学中的演绎推理》一书旁注中指出：“求解个案问题表现的是技巧，而得到规律性表现的是技能.数学教育需要培养技巧，但是更重要的是培养技能.”并举例说明，在韦达（F.Viete，1540— 1603）之前，人们采用不同方法求解一元二次方程， 后来韦达发现了一元二次方程根与系数的关系， 才给出了一般性的公式，即求解一元二次方程的通解通法[3].

【参考文献】

[1]林燕莉 .例谈表格在初中数学教学中的应用[J].数学教学通讯，2016，27：22 -24.

[2] 金钟植.谈谈对数学通法的认识和理解[J].高中数理化（高二版），2008（02）：6-9.

[3]史宁中.数学中的演绎推理[M].长春：东北师范大学出版社，2012.